Một nhánh trong giải tích phức nhiều biến phát triển mạnh mẽ trong vòng 30
năm trở lại đây là lý thuyết đa thế vị. Nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này được
người ta biết đến từ khá sớm trước những năm 80 của thế kỉ trước. Các kết quả đặc sắc
của E.Berford và B.A.Taylor năm 1982 là việc xây dựng thành công toán tử Monge –
Ampere phức cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, tìm ra nghiệm đa điều
hòa dưới của bài toán Dirichlet cho phương trình Monge – Ampere phức và đưa ra
khái niệm dung lượng của một tập Borel trong một tập mở trong n . Có thể xem đây
như là một công cụ hữu hiệu cho việc phát triển lý thuyết đa thế vị cho đến nay. Trong
những năm gần đây bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampere phức:
(dd u d c )n = µ, u = ϕ trên biên
được giải với một lớp rộng rãi các độ đo khác nhau. Việc đưa ra các điều kiện để
phương trình có nghiệm liên tục cũng như mô tả các độ đo này để phương trình có các
nghiệm thuộc lớp rộng hơn các hàm đa điều hòa dưới được sự quan tâm của các nhà
toán học trên thế giới.
