Lý thuyết biểu diễn là một trong những lãnh vực quan trọng mà giữ một
vai trò cốt yếu trong rất nhiều h}ớng nghiên cứu của toán học và vật lý
nh}: giải tích điều hoà trừu t}ợng, lý thuyết số, nhóm đại số, cơ học l}ợng
tử, vật lý các hạt cơ bản, lý thuyết tr}ờng l}ợng tử, hình học đại số, nhóm
l}ợng tử. Sự phát triển của nó có thể chia làm nhiều giai đoạn.
Giai đoạn đầu tiên của lý thuyết biểu diễn ra đời vào những năm 1920
cùng với những tên tuổi của G. Frobenius, Schur, Molin. Thời kỳ này,
ng}ời ta chỉ quan tâm tới các nhóm hữu hạn cùng với các biểu diễn hữu
hạn chiều. Giai đoạn này cũng đánh dấu sự khai sinh của các khái niệm
nh}đặc tr}ng, toán tử bện và biểu diễn bất khả quy mà sau đó đã trở
thành các khái niệm cơ bản của lý thuyết biểu diễn.
Giai đoạn thứ hai đ}ợc đánh dấu bởi sự xuất hiện của lý thuyết biểu
diễn nhóm compact. Kết quả quan trọng trong thời kỳ này là định lý
Haar-Von Neumann về sự tồn tại của độ đo bất biến và định lý F. Peter-H.
Weyl về sự đầy đủ của biểu diễn hữu hạn chiều. Tuy nhiên phải đến thời
kỳ thứ ba, bắt đầu từ những năm 1940, lý thuyết biểu diễn mới đạt d}ợc
những thành công rực rỡ với các biểu diễn unita vô hạn chiều. Có thể nói
thời kỳ này đ}ợc bắt đầu bởi công trình của Gelfand và Raikov về tính
đầy đủ của hệ các biểu diễn unita bất khả quy của một nhóm compact
địa ph}ơng bất kỳ. Cùng lúc đó, Von Neumann cũng đã hoàn thành công
trình của mình về đại số toán tử. Chỉ một thời gian ngắn sau, lý thuyết
đại số Von-Neumann đ}ợc thống nhất với lý thuyết biểu diễn nhóm trong
các bài báo của G. M. Adelson, Mautner và Godement.
Một cách tự nhiên bài toán quan trọng nhất của lý thuyết biểu diễn là
bài toán phân loại biểu diễn mà ng}ời ta còn gọi là bài toán về đối ngẫu
unita.
Bài toán về đối ngẫu unita: Cho tr}ớc một nhóm G. Hãy phân loại tất
cả các biểu diễn unita bất khả quy của G (sai khác một phép đẳng cấu).
Định lý đầu tiên về sự phân loại nhận đ}ợc vào năm 1947 bởi I. M.
Gelfand và M. A. Naimark [26]. Từ đó tới nay, ng}ời ta cũng đã xây dựng
đ}ợc một số ph}ơng pháp nhằm thu đ}ợc lời giải của bài toán đối ngẫu
unita nói trên. Với nhóm G là nhóm SL(2,R), bài toán đối ngẫu unita đã
đ}ợc giải quyết. Ng}ời ta chứng minh đ}ợc rằng, lớp các biểu diễn unita
bất khả quy của G gồm biểu diễn chuỗi chính, chuỗi rời rạc và chuỗi bổ
sung, xem [33].
Một trong những cách tiếp cận hiện đại c
