<p>
Ngày nay với sựphát triển nhưvũbão của khoa học kỹthuật, các hệlượng tử
ñược xét ñến ngày càng ña dạng, trong ñó có nhiều bài toán chưa tìm ñược lời giải, từ
ñó phát sinh nhu cầu xây dựng và phát triển các phương pháp giải các bài toán cơhọc
lượng tử- cụthểlà giải các phương trình Schrödinger. Một trong những phương pháp
mạnh và phổbiến có thểkể ñến là phương pháp lý thuyết nhiễu loạn. Ý tưởng chính
của lý thuyết nhiễu loạn là tách Hamiltonian của bài toán thành hai thành phần: một
phần có thểxác ñịnh ñược nghiệm chính xác, phần còn lại là “nhiễu loạn” sẽ ñóng góp
vào kết quảthông qua các bổchính; trong ñó ñiều kiện áp dụng là thành phần “nhiễu
loạn” phải nhỏso với thành phần chính. Đây cũng chính là hạn chếlớn của phương
pháp này, vì trong thực tếmột sốtrường hợp thành phần tách ra không ñủnhỏ ñểcoi là
“nhiễu loạn”. Nhưvậy, việc xây dựng một phương pháp ñểgiải các bài toán phi nhiễu
loạn là cần thiết.
Phương pháp toán tử(Operator Method, viết tắt là OM) ñược xây dựng từthập
niên 80 của thếkỉtrước. Đây là một trong các phương pháp mạnh cho một dải rất rộng
các bài toán phi nhiễu loạn nêu trên [7].
Ý tưởng chính của OM [7] nằm trong bốn bước sau: (1) - Biểu diễn toán tử
Hamiltonian qua các toán tửsinh hủy: ˆ ˆ ( , ) ( , , ) H x p H a a ω
+
→ ; (2) - Tách Hamiltonian
thành phần trung hòa và không trung hòa:
0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( , , ) ( , ) ( , , ) H a a H a a V a a ω ω ω
+ + +
= + ; (3) -
Chọn tham số ω sao cho
0
ˆ ˆ ( , ) H a a ω
+
là thành phần chính của Hamiltonian và từ ñây ta
có nghiệm riêng của
0
ˆ ˆ ( , ) H a a ω
+
là năng lượng gần ñúng bậc không; (4)- Xem
ˆ ˆ ( , , ) V a a ω
+
là thành phần nhiễu loạn và tính các bổchính bậc cao theo các sơ ñồthích
hợp.
Qua nghiên cứu và ứng dụng trong một loạt các bài toán cụthểvềlý thuyết
trường, chất rắn, vật lý nguyên tử OM ñã chứng tỏtính ưu việt và hiệu quảcủa nó [7]
. Một số ưu ñiểm có thểkểra như: (1) - Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tốma trận
phức tạp, ñưa vềcác phép biến ñổi thuần ñại số. Vì vậy có thểsửdụng các chương trình
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng ĐỗNgọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh TuấnTrang 3
tính toán trên biểu tượng nhưMatlab, Mathematica ñểtự ñộng hóa quá trình tính toán;
(2) - Cho phép xét các hệlượng tửvới trường ngoài có cường ñộbất kì. Từ ñây có thể
tìm giá trịnăng lượng và hàm sóng của hệtrong toàn miền thay ñổi của tham sốtrường
ngoài.
Một trong những khó khăn chung khi áp dụng OM là ña phần các bài toán có
toán tửHamilton chứa các biến ñộng lực ởmẫu sốhoặc trong trong dấu căn nên nếu
ñơn thuần chuyển sang biểu diễn các toán tửsinh hủy thì sẽgây khó khăn khi tính toán.
Đểgiải quyết vấn ñềnày, trong các công trình trước [2], [7] các tác giả ñã sửdụng mối
liên hệgiữa bài toán nguyên tửhydro và bài toán dao ñộng tử ñiều hòa thông qua phép
biến ñổi Levi-Civita giúp ñưa các phương trình vềdạng bài toán dao ñộng tửphi hòa
khá quen thuộc – cách giải này khá “ñẹp mắt” vềhình thức và cũng ñã phát huy tác
dụng ñối với một sốbài toán [7]. Tuy nhiên, ñối với các bài toán phức tạp hơn, việc
xác ñịnh năng lượng một cách gián tiếp nhưvậy gây một sốkhó khăn khi tính toán, lập
trình ñểtìm nghiệm. Do ñó, trong ñềtài này tôi sửdụng phương pháp toán tửtìm năng
lượng E một cách trực tiếp bằng cách sửdụng phép biến ñổi Laplace ñể ñưa phần tọa
ñộra khỏi mẫu sốvà dấu căn. Đây ñược coi là một bước phát triển OM
</p>
