Tích phân Lebesgue xuất hiện vào thế kỷ XX nhằm giải quyết một vài
nhược điểm của tích phân Riemann, chẳng hạn hàm Dirichlet là hàm đơn giản
nhưng không khả tích Riemann. Có một điều thú vị về ý tưởng xây dựng hai
loại tích phân này. Hai loại tích phân này được xây dựng dựa trên hai cách nhìn
khác nhau về hàm số: Bernhard Riemann nhìn hàm số bắt đầu từ miền xác định
còn Henri Lebesgue nhìn hàm số từ tập giá trị. Khóa luận của em nhằm tìm
hiểu cách xây dựng tích phân Lebesgue và các lớp hàm khả tích Lebesgue cũng
như có những so sánh với các kết quả đã học trong tích phân Riemann. Khóa
luận được chia thành hai chương.
Trong Chương 1, em trình bày cách thức xây dựng tích phân Lebesgue từ
độ đo Lebesgue, hàm đo được Lebesgue rồi tích phân Lebesgue và hàm khả tích
Lebesgue. Trong chương này có khái niệm hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ theo
độ đo là sự mở rộng của khái niệm hội tụ điểm và hội tụ đều. Em đã đưa vào
các ví dụ cho thấy sự khác nhau giữa các khái niệm hội tụ này. Phần gần cuối
chương có đề cập đến các kết quả quan trọng về việc chuyển giới hạn qua dấu
tích phân của Beppo Levi, Pierre Fatou, đặc biệt của Henri Lebesgue về hội tụ
chặn. Em đưa ví dụ cho thấy kết quả đã học ở Giải tích về việc chuyển giới hạn
qua dấu lấy tích phân được mở rộng thực sự. Kết thúc chương này là kết quả
về mối quan hệ giữa tích phân Lebesgue và tích phân Riemann.
