Luận án trình bày một số mở rộng của hai hệ động lực rời rạc Sandpile model (SPM)
và Chip firing game (CFG). Hai hệ này đã được nghiên cứu rất nhiều trong những
năm gần đây bằng nhiều cách tiếp cận khác nhau. Chúng tôi nghiên cứu bài toán
đạt được, cấu trúc không gian và thời gian đạt được trên các hệ mở rộng này.
Mở rộng thêm hạt trên hệ SPM: Nghiên cứu sự ổn định của hệ dưới tác động
từ bên ngoài bằng việc bổ sung luật thêm hạt vào các cột hợp lý mỗi khi hệ đạt tới
trạng thái ổn định duy nhất. Chúng tôi chỉ ra rằng có thể thu được tất cả các phân
hoạch trơn bằng cách này. Từ đó chứng minh cấu trúc dàn của các phân hoạch trơn
trong mối liên quan với dàn Young. Hơn nữa, nhờ giới thiệu khái niệm năng lượng
chúng tôi mô tả được sự biến thiên của hệ thông qua các đại lượng được tính toán
tường minh là đường đi ngắn nhất và dài nhất.
Mở rộng hệ SPM thành hệ đối xứng song song (PS-SPM): Các cột có thể rơi
sang cả hai phía (tính đối xứng) và các cột có thể rơi thì rơi đồng thời (tính song
song), chúng tôi đã chỉ ra hệ SPM đối xứng song song và hệ SPM đối xứng có tập
trạng thái ổn định có cùng hình dạng. Chứng minh này mang tính xây dựng nhờ
chỉ ra tường minh con đường áp dụng luật PS-SPM kết hợp giữa các thủ tục đan
xen, giả đan xen và tất định một cách hợp lý.
Mở rộng hệ CFG thành hệ CFG có dấu: Các đỉnh trong hệ CFG có thể chứa
một số âm các chip và các đỉnh chứa chip đủ âm cũng có thể bắn. Chúng tôi chỉ
ra các đẳng cấu giữa hệ SPM đối xứng và hệ CFG có dấu trong hai trường hợp khi
đồ thị nền là đường thẳng vô hạn và đồ thị vòng. Nhờ việc kết hợp nghiên cứu giữa
hai hệ này, chúng tôi đặc trưng cho các trạng thái của các hệ và đưa ra một số tính
toán tổ hợp liên quan đến số trạng thái ổn định của chúng.
7
