Đến nay, lý thuyết điểm bất động đã ra đời khoảng một thế kỷ và phát
triển mạnh mẽ trong năm thập kỷ gần đây. Sự ra đời của Nguyên lý điểm
bất động Brouwer (1912) và ánh xạ co Banach (1922) đã hình thành 2
hướng chính của lý thuyết điểm bất động: sự tồn tại điểm bất động của
ánh xạ liên tục và sự tồn tại điểm bất động dạng co. Lý thuyết điểm bất
động có nhiều ứng dụng như: chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương
trình vi phân và phương trình tích phân (định lý Picard và định lý Peano),
chứng minh nguyên lý -biến phân Ekeland, chứng minh sự tồn tại điểm
cân bằng trong mô hình kinh tế, sự tồn tại nghiệm tối ưu của nhiều bài
toán trong lý thuyết tối ưu.
Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) là kết quả khởi đầu cho lý thuyết
điểm bất động dạng co, nhưng phải đến những năm 60 của thế kỷ 20
mới được phát triển mạnh mẽ. Nó cho phép ta xây dựng thuật toán tìm
nghiệm của bài toán. Các nhà toán học đã mở rộng Nguyên lý ánh xạ co
Banach theo hai hướng: đưa ra các khái niệm mới, ánh xạ đa trị và mở
rộng ánh xạ co đến ánh xạ không giãn. Các kết quả tiêu biểu có thể kể đến
như: M.Edelstein, D.Boyd, A.Meir, E.Keeler cho ánh xạ đơn trị; Caristi,
S.Nadler, Ky Fan .cho ánh xạ đa trị.
Một quan hệ giữa ánh xạ co và ánh xạ không giãn là: ánh xạ không giãn
có thể được xấp xỉ bằng một dãy ánh xạ co trên tập C lồi, đóng, bị chặn
trong không gian Banach, xác định bởi công thức T
n
x =
1
n
x
0
+ (1 −
1
n
)T x,
trong đó x
0
là điểm cố định trong C . Vì vậy, sự tồn tại điểm bất động của
ánh xạ co kéo theo sự tồn tại điểm bất động -xấp xỉ của ánh xạ không
giãn (x là điểm bất động -xấp xỉ của ánh xạ T nếu d(x, T x) ≤ ) trên
2
tập lồi, đóng, bị chặn trong không gian Banach. Tuy nhiên, sự tồn tại điểm
bất động của ánh xạ không giãn thường gắn liền với cấu trúc hình học của
không gian Banach. Lý thuyết điểm bất động của ánh xạ không giãn được
mở đầu bằng 3 công trình của F.E.Browder, K.Goebel và W.A.Kirk vào
năm 1965. Kết quả quan trọng của W.A.Kirk được trình bày trong chương
2 của luận văn này.
Mở rộng tự nhiên cho lý thuyết điểm bất động của ánh xạ không giãn là
nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Lipschitz với hệ số lớn hơn
1. Tuy nhiên, Kakutani đã chỉ ra ánh xạ Lipschitz với hệ số đủ gần 1 trong
hình cầu đóng đơn vị của không gian Hilbert không có điểm bất động.
Nguyên lý điểm bất động Brouwer được mở rộng theo 2 giai đoạn. Ban
đầu, người ta mở rộng kết quả này trên lớp các không gian tổng quát như:
định lý Schauder (1930) trong không gian định chuẩn, định lý Tikhonov
(1935) trong không gian lồi địa phương,. . Sau đó mở rộng đến ánh xạ đa
trị nửa liên tục trên, mở đầu là kết quả của Kakutani (1941), tiêu biểu là
Ky Fan (1952).
