Khái niệm liên tục và liên tục đều của hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của
giải tích cổ điển cũng như giải tích hiện đại. Khái niệm liên tục đều được giới thiệu đầu tiên cho
các hàm số trên không gian Euclide bởi Eduard Heine vào năm 1870. Trong giải tích, chúng ta
biết rằng mọi hàm liên tục từ một không gian mêtric compact vào một không gian mêtric bất kỳ
thì liên tục đều. Nhưng tính compact thật sự không cần thiết bởi vì mọi hàm số liên tục từ một
không gian mêtric rời rạc ( , ) X d vào một không gian mêtric bất kỳ thì liên tục đều, với d là
mêtric cho bởi:
1 ,
( , ) ; ,
0 ,
x y
d x y x y X
x y
Vấn đề chúng tôi muốn nêu ra ở đây là không gian mêtric ( , ) X d phải thỏa điều kiện gì để
một hàm số liên tục trên không gian mêtric ( , ) X d là liên tục đều.
