Như ta đã biết, theo định lý Ostrowski: “ Mọi giá trị tuyệt đối trên trường Q
hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường hoặc tương đương với
giá trị tuyệt đối p” . Nếu làm đầy đủ Q theo giá trị tuyệt đối thông thường ta
được trường R , lấy bao đóng đại số của R ta được trường C. Còn nếu làm đầy
đủ Q theo giá trị tuyệt đối phi Archimedean p ta được trường
p
Q , lấy bao
đóng đại số của
p
Q rồi làm đầy đủ trường này ta được trường
p
C .
Trong trường hợp tổng quát, thay Q bởi trường F bất kì cùng với giá trị
tuyệt đối phi Archimedean |.|. Lấy K là một mở rộng của F , liệu có tồn tại giá
một trị tuyệt đối phi Archimedean ||.|| trên K là mở rộng của |.| ? Và nếu tồn
tại thì có tồn tại duy nhất hay không? Giả sử đã có giá trị tuyệt đối mở rộng
đó rồi thì mối liên quan giữa nhóm giá trị và trường thặng dư của chúng như
thế nào? Đây là những vấn đề khá cơ bản để xây dựng các trường với các giá
trị tuyệt đối phi Archimedean. Luận văn gồm có 3 chương:
Chương 1: Các kiến thức cơ bản: trình bày định nghĩa giá trị tuyệt đối ,
giá trị tuyệt đối phi Archimedean, các điều kiện tương đương của giá trị tuyệt
đối, giá trị tuyệt đối phi Archimedean, một số tính chất cơ bản và đặc biệt là
hai ví dụ về giá trị tuyệt đối p-adic trên Q và giá trị tuyệt đối trên trường các
phân thức hữu tỉ K x .
Chương 2: Mở rộng giá trị tuyệt đối trên bao đủ và bao đóng đại số của
một trường: trình bày định lý xây dựng trường bao đủ của một trường, định lý
mở rộng giá trị tuyệt đối trên bao đóng đại số, tính duy nhất của các mở rộng
này,
