Lý thuyết rẽ nhánh nghiên cứu những phương trình phụ thuộc tham số, đặc
biệt nó tìm những giá trị của tham số mà tại đó cấu trúc tập nghiệm bị thay đổi.
Thời gian gần đây, lý thuyết này được sử dụng nhiều để giải quyết những vấn
đề nảy sinh trong vật lý học, sinh học và những môn khoa học tự nhiên khác.
Nhiều kết quả của lý thuyết rẽ nhánh đã và đang giải quyết có hiệu quả những
vấn đề nảy sinh trong khoa học cũng như trong thực tế cuộc sống và vai trò của
nó ngày càng trở nên quan trọng hơn. Việc nghiên cứu những nghiệm rẽ nhánh
đối với phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số đã được nhiều người quan
tâm và nghiên cứu trong nhiều đề tài khoa học. Với một tham số của phương
trình đã cho có nghiệm, với sự thay đổi của tham số, tính duy nhất của nghiệm
có khi không được bảo đảm, nó có thể có hai hoặc nhiều nghiệm khác nhau. Về
mặt toán học ta có thể mô tả như sau:
Cho F là một hàm số trên tích của không gian Metric (Λ, d) với D là lân
cận của điểm 0 của không gian định chuẩn (X, k.k) vào không gian định chuẩn
(Y, k.k). Giả thiết rằng với λ có v(λ) để F (λ, v(λ)) = 0. Bằng cách tịnh tiến, ta
có thể giả thiết v(λ) = 0. Mỗi nghiệm (λ, 0) được gọi là nghiệm tầm thường của
1
Lời nói đầu
phương trình
F (λ, v) = 0, (λ, v) ∈ Λ × D. (1)
Ta sẽ tìm những nghiệm tầm thường (λ, 0) mà tại những lân cận của nó có tính
chất với δ>0, >0 cho trước, tồn tại nghiệm không tầm thường (λ, u) ∈ Λ × D
của phương trình trên với d(λ, λ) < δ và 0 < kuk < . Nghiệm tầm thường (λ, 0)
này sẽ được gọi là nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1), λ được gọi là điểm rẽ
nhánh. Những bài toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1) được
gọi là bài toán rẽ nhánh. Trong lý thuyết rẽ nhánh, người ta thường để cập tới
những bài toán sau:
(i) Sự tồn tại nghiệm rẽ nhánh;
(ii) Tồn tại những nhánh nghiệm;
(iii) Tìm những giá trị tham số tại đó tính duy nhất bị phá vỡ;
(iv) Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm rẽ nhánh;
(v) Nghiên cứu số nhánh nghiệm;
(vi) Nghiên cứu cấu trúc của các tập nghiệm rẽ nhánh;
