Từ cuối thế kỉ 19, phân số đã được viết dưới đạng p/q với q 0 . Hơn nữa, theo O.Stoltz,
hai phân số p/q và p’/q’ được gọi là bằng nhau nếu pq p q ' ' , tổng và tích của chúng được
định nghĩa dưới dạng:
/ '/ ' ' ' / '
/ . '/ ' '/ '
p q p q pq p q qq
p q p q pp qq
Vào khoảng cùng thời gian này, Kummer, Dedekind, Kronecker và một số nhà toán học
đã tạo nên lý thuyết về số đại số là nền tảng của lý thuyết vành trong thế kỉ tiếp theo. Những
điều này đã thúc đẩy sự phát triển của đại số trừu tượng trong những năm đầu thế kỉ 20 mà
điển hình là Emmy Noether. H.Grell – học trò của bà – đã đưa ra định nghĩa về vành các
thương trên miền nguyên giao hoán, đây là vành mà các phần tử của nó là một phân số (theo
nghĩa của O.Stoltz) với tử số và mẫu số được lấy trong miền nguyên.
