Trong luận văn này, chúng tôi tập trung xét bài toán giá trị biên và ban đầu cho
phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng dưới đây
u t u u f x t u x t T tt xx t ( ) ( , , ), 0 1, 0 , (1.1)
u t u t u t g t (0, ) 0, (1, ) (1, ) ( ), x (1.2)
u x u x u x u x ( , 0) ( ), ( , 0) ( ), 0 1 t (1.3)
trong đó , là các hằng số; , u0, u1, f g , là các hàm cho trước thỏa các điều kiện
mà ta sẽ chỉ ra sau. Phương trình (1.1) mô tả dao động phi tuyến của một sợi dây đàn
hồi, ở đây, u là độ võng, các hằng số , và các hàm , u0, u1, f g , xuất hiện trong
bài toán có một ý nghĩa Cơ học nào đó. Bài toán (1.1) − (1.3) cũng được nhiều nhà
toán học quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây, xem [3 – 13], [15 – 17] và các
tài liệu tham khảo trong đó.
Phương trình (1.1) với các dạng khác nhau của , f và các điều kiện biên khác
nhau đã được khảo sát bởi nhiều tác giả, chẳng hạn
Trong [3], N. T. Long, A. P. N. Định, T. N. Diễm đã khảo sát phương trình (1.1)
với 1, 0, ( , , , , ) ( , , , , ) f f x t u u u g x t u u u x t x t với điều kiện biên hỗn hợp
