Lý thuyết điểm bất động là một trong những lý thuyết quan trọng của
Giải tích, với rất nhiều thành tựu mà nổi bật là các nguyên lý điểm bất động
Brouwer (1912), Banach (1922) và Schauder (1930).
Nguyên lý điểm bất động Brouwer được Brouwer chứng minh dựa trên lý
thuyết bậc tôpô của ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều. Đây
cũng là một định lý được xem là thành tựu sớm nhất của tôpô đại số và làm
nền móng cho các hướng nghiên cứu tiếp theo của nhiều nhà Toán học, dẫn
đến các kết quả cơ bản khác. Định lý điểm bất động Schauder chính là một
mở rộng của nguyên lý điểm bất động Brouwer cho không gian vô hạn chiều
(áp dụng cho không gian Banach). Một mở rộng khác là định lý Tychonoff
(1935, áp dụng cho không gian vectơ tôpô lồi địa phương),v.v. Định lý điểm
bất động Brouwer còn được mở rộng cho ánh xạ đa trị bởi các nhà Toán
học như Kakutani (1941), Bohnenblust và Karlin (1950), Ky Fan (1960/61).
Năm 1929, ba nhà Toán học Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng
minh một kết quả quan trọng, Bổ đề KKM, đem đến một cách chứng minh
đơn giản nguyên lý điểm bất động Brouwer và đặc biệt hơn nữa, bổ đề KKM
và nguyên lý điểm bất động Brouwer là hai kết quả tương đương nhau. Từ
sự xuất hiện của bổ đề KKM, cùng những kết quả sâu sắc trong các công
trình nghiên cứu của Ky Fan làm nền tảng, lý thuyết KKM hình thành, phát
triển và được sử dụng rộng rãi như một công cụ hữu ích cho lý thuy
