Phân loại đồng luân các ánh xạ liên tục giữa hai mặt cầu (có thể
có số chiều khác nhau) là bài toán trung tâm của Tôpô đại số kể từ năm
1930, khi H. Hopf tìm ra các ánh xạ không tầm thường, ngày nay mang
tên ông:
S3 → S2, S7 → S4, S15 → S8.
Các ánh xạ Hopf này quan hệ mật thiết với cấu trúc đại số thực có phép chia
của trường số phức, thể quaternion, và đại số Cayley.
Một trong những công cụ cơ bản để nghiên cứu bài toán phân loại
đồng luân là các toán tử Steenrod, được ký hiệu là Sqi : H∗(X; F2) →
H∗+i(X; F2), với i ≥ 0, tác động tự nhiên trên đối đồng điều của không gian
tôpô X với hệ số F2. Các toán tử Sqi được Steenrod xây dựng năm 1947.
Đến năm 1952, ông mở rộng kết quả này cho đối đồng điều hệ số trong Fp
với p là một số nguyên tố lẻ.
Các toán tử Steenrod cho phép nhận biết sự khác nhau của các
không gian mà cấu trúc vành đối đồng điều không thể nhìn thấy. Lược sử
việc phát hiện ra các toán tử này được tóm tắt như sau. Bằng cách dùng
đồng điều, người ta đã phân loại được các đa tạp 2 chiều, compact, liên
thông, định hướng được. Cụ thể, mọi đa tạp như thế đều đồng phôi với một
xuyến với g "lỗ" Mg, hay mặt cầu được gắn g "quai", với g ≥ 0 nào đó.
Trong thập niên 1940, Pontrjagin viết một số bài báo đưa ra khẳng định
tương tự cho những đa tạp 3 chiều, compact, liên thông, định hướng được.
Nhưng sau đó, người ta tìm thấy các phản ví dụ cho điều này: tồn tại
những đa tạp ba chiều như thế có cùng vành đối đồng điều nhưng không
đồng phôi với nhau. Steenrod phát hiện ra rằng nguyên nhân của sự kiện
đó là có những toán tử Sqi thực hiện việc kết nối các phần tử đối đồng điều
của những đa tạp đã cho theo những cách khác nhau.
